LaTeX 速记表

LaTeX 常被用作科学文献的排版，基本上论文都是用 Tex 进行排版，生成 PDF。得益于 Markdown 标记语言的推广，排版交给了 Markdown 渲染器，而 LaTeX 只负责生成数学公式。采用 Markdown 书写数学公式的最大原因还是因为字丑，写下的公式隔几天就认不得了。

整个篇章结构如下：

章节	内容
单行 LaTeX 公式	一些简单的$LaTeX$ 符号和单行公式组合
多行 LaTeX 公式	复杂的$LaTeX$ 多行公式和矩阵
示例公式	数学和物理中的一些简单的公式

LaTeX 环境

支撑$\LaTeX$ 的环境有很多，区别于传统的 Tex，一些 Markdown 编辑器都支持，比方说：

名称	链接
MarkText	marktext/marktext
Obsidian	Obsidian
Typora	typora.io

这里推荐使用 Obsidian 作为笔记工具，Obsidian 支持大量插件，可以方便进行同步。尤其是 Completr 插件，能够实现前后文补全和$\LaTeX$ 数学公式的提示补全。

单行 LaTeX 公式

下面总结的是在数学与物理中高频使用的$\LaTeX$ 符号，使用这些基本上可以完成绝大部分的数学与物理公式推导。个人感觉$\LaTeX$ 其实比 Word 之类的，写数学公式要方便，写$\LaTeX$ 就和写代码一样，很快，很方便，不用费心思去寻找某一个符号。用$\LaTeX$ 写数学公式，学起来不难，多打几个公式就熟练了。

通用

代码	符号	说明
a^{b}	$a^{b}$	上标
a_{b}	$a_{b}$	上标
a_{_b}	$a_{_b}$	下标多字符
\frac{a}{b}	$\frac{a}{b}$	分数（fraction）

基本

运算符

代码	符号	说明
\times	$\times$	乘号
\cdot	$\cdot$	中间点（乘法）
\div	$\div$	除号
\sqrt{a}	$\sqrt{a}$	根号
\sqrt[n]{2}	$\sqrt[n]{3}$	根号
a \bmod b	$a \bmod b$	同余

键盘上有的符号，比方说 +、- 、= 都没有对应的$\LaTeX$ 表达式，需要用这些符号时直接输入即可。

符号

代码	符号	说明
\pm	$\pm$	正负号
\le	$\le$	小于等于
\ge	$\ge$	大于等于
\neq	$\neq$	不等于
\approx	$\approx$	约等于
\equiv	$\equiv$	恒等于
\propto	$\propto$	正相关于

上表没有没有大于号、小于号以及等于号，因为他们就是键盘上的 >、< 和 = 。

集合

代码	符号	说明
\Rightarrow	$\Rightarrow$	双线右箭头
\rightarrow	$\rightarrow$	右箭头
\Leftarrow	$\Leftarrow$	双线左箭头
\Leftrightarrow	$\Leftrightarrow$	双箭头
\in	$\in$	元素属于
\subset	$\subset$	子集
\subseteq	$\subseteq$	真子集
\exists	$\exists$	存在
\forall	$\forall$	对于所有
\boxed	$\Box$	正方形（证毕）
\{x \in s∣0 \leq x < \infty \}	$\{x \in s∣0 \leq x < \infty \}$	集合

这里的符号，在别的地方会有不同的含义，请以具体运用的地方为准。

对于 { 和 } 两个符号是 LaTeX 保留格式，需要加上斜杆 \ 进行转义，也就是 \{ 和 \} 。

数列

代码	符号	说明
a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}	$a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}$	省略号
\sum \limits_{i=1}^{n}	$\sum \limits_{i=1}^{n}$	连加
\sum_{i=1}^{n}	$\sum_{i=1}^{n}$	连加（单行）

• For modular equivalence, use \pmod like this: a\equiv b\pmod n a≡b(modn)�≡�(mod�). For the binary mod operator, use \bmod like this: a\bmod 17

微积分

算式

代码	符号	说明
\lim \limits_{\Delta \rightarrow 0} x_{\Delta}	$\lim \limits_{\Delta \rightarrow 0} x_{\Delta}$	极限
\inf	$\int$	积分号
\inf^{1}_{0} \, dx	$\int^{1}_{0} \, dx$	定积分
dx	$d x$	微分
\partial x	$\partial x$	偏微分
\sum \limits_{i=1}^{n}	$\sum \limits_{i=1}^{n}$	连加
\sum_{i=1}^{n}	$\sum_{i=1}^{n}$	连加（单行）
\prod \limits_{i=1}^{n}	$\prod \limits_{i=1}^{n}$	连乘
\oint_{G}	$\oint_{G}$	环积分
\iinf	$\iint$	重积分号

有的地方会说微分应当是用\rm{d} x 也就是$\rm{d} x$，这样子看起来更正式一点。但实际上用 dx 即$dx$ 就行了，没必要那么麻烦。

连加和极限推荐用 \limits 来进行约束，这样子可以强制上下标，而非并做一行$\lim_{\Delta \rightarrow 0} x_{\Delta}$ 和$\sum_{i=1}^{n}$ 。

符号

代码	符号	说明
\infty	$\infty$	无穷

实部虚部

代码	符号	说明
\Re\{\}	$\Re\{ a \}$	虚部
\Im\{\}	$\Im\{ a \}$	虚部

同余取模

代码	符号	说明
a\bmod 17	$a\bmod 17$	模（余）
a\equiv b\pmod n	$a \equiv b\pmod n$	同余

物理

代码	符号	说明
\vec{F}	$\vec {F}$	矢量
\hat{x}	$\hat{x}$	尖帽
\dot{x}	$\dot{x}$	上一点/一阶导数
\ddot{x}	$\ddot{x}$	上两点/二阶导数
\nabla	$\nabla$	算子

字母表

代码	字母	代码	字母
\alpha	$\alpha$	\nu	$\nu$
\beta	$\beta$	\xi	$\xi$
\gamma	$\gamma$	\omicron	$\omicron$
\delta	$\delta$	\pi	$\pi$
\epsilon	$\epsilon$	\rho	$\rho$
\zeta	$\zeta$	\sigma	$\sigma$
\eta	$\eta$	\tau	$\tau$
\theta	$\theta$	\upsilon	$\upsilon$
\iota	$\iota$	\phi	$\phi$
\kappa	$\kappa$	\chi	$\chi$
\varkappa	$\varkappa$	\psi	$\psi$
\lambda	$\lambda$	\omega	$\omega$
\mu	$\mu$

异体字

代码	字母	代码	字母	代码	字母
\Epsilon	$E$	E	$\epsilon$	\varepsilon	$\varepsilon$
\Theta	$\Theta$	\theta	$\theta$	\vartheta	$\vartheta$
\Kappa	$K$	K	$\kappa$	\varkappa	$\varkappa$
\Pi	$\Pi$	\pi	$\pi$	\varpi	$\varpi$
\Rho	$P$	P	$\rho$	\varrho	$\varrho$
\Sigma	$\Sigma$	\sigma	$\sigma$	\varsigma	$\varsigma$
\Phi	$\Phi$	\phi	$\phi$	\varphi	$\varphi$

一些希腊字母的大写，在$\LaTeX$ 当中就是英文字母大写。

字体设置

文字样式

代码	符号	说明
\boxed{text}	$\boxed{text}$	文字加边框
A\large{A}	$A\large{A}$	加大字体
A\small{A}	$A\small{A}$	缩小字体
A\boldsymbol{A}	$A\boldsymbol{A}$	加粗字体
A\mathbb{A}	$A\mathbb{A}$	空心字体

详细的字体形式可以查阅$\LaTeX$ 的文档，$\LaTeX$ 也支持彩色显示。

其他

代码	符号	说明
\stackrel{a}{b}	$\stackrel{a}{b}$	下大上小
a \atop b	$a \atop b$	下大等大小
\overline{a + b}	$\overline{a + b}$	上划线，共轭
\underline{a + b}	$\overline{a + b}$	上划线，共轭

在$\LaTeX$ 中，上方符号一般带 over 下方一般带 under。

多行 LaTeX 公式

括号

括号大小自适应

使用 \left 和 \right 关键词，实现自适应大小的括号：

$$\sin \left ( x \right )$$

\sin \left (  x  \right )

小号：

$$\sin \left ( x \right )$$

中号：

$$\sin \left ( x^2 \right )$$

大号：

$$\sin \left ( \frac{\pi}{2}x \right )$$

超大号：

$$\sin \left ( \frac{e^x}{\sqrt2} \right )$$

无论里面的内容多大，都会根据 \left 和 \right 之间的高度来调整大小。

上下括号

上括号 \overbrace 下括号 \underbrace

$$\underbrace{a+b+c+d+e+f}_{123321}$$

\underbrace{a+b+c+d+e+f}_{123321}

和上括号：

$$\overbrace{a+b+c+d+e+f}^{123321}$$

\overbrace{a+b+c+d+e+f}^{123321}

如果这里的括号显示残缺，十有八九是编辑器的缩放问题，导致渲染不完全，试着放大页面即可解决。

多行对齐

多行需要用到块，固定是 \begin{} 和 \end{} 组成对，不可嵌套，也不可交叠。

一般文本块的标识是 aligned 即 \begin{aligned} 和 \end{aligned}，在块中使用 & 实现任意位置对齐，配合 \\ 进行换行：

$$\begin{aligned} x + y + z &= 1, & x>2 \\ y-z&=2, &z<1 \end{aligned}$$

\begin{aligned}
x + y + z &= 1, & x>2 \\
y-z&=2,  &z<1
\end{aligned}

其中的 & 是对齐标志位，在 align 默认左边第一个左对齐，剩下一律靠右。

比方说傅里叶级数：

$$\begin{aligned} f_N(x) = B_{0} + \sum \limits^{N}_{k = 1} B_{k} \cos (k \omega_0 x) + \sum \limits^{N}_{k = 1} C_{k} \sin (k \omega_{0} x) \\ \end{aligned}$$

的各项系数，可以用 & 实现对齐：

$$\left \{ \begin{aligned} &B_0 = \frac{1}{T_0} \int^{T_0}_{0} f(x) dx \\ &B_k = \frac{2}{T_0} \int^{T_0}_{0} f(x) \cos (k \omega_0 x) dx, \ (k\in[1, +\infty) ,\ T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0})\\ &C_k = \frac{2}{T_0} \int^{T_0}_{0} f(x) \sin (k \omega_0 x) dx, \ (k\in[1, +\infty) ,\ T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0})\\ \end{aligned} \right .$$

多行算式

用 \left \{ 和 \right 标识对，包住了 \begin{aligned} 和 \end{aligned} 块，可以在块外面生成一个大括号，实现表达分段函数：

$$f(x)= \left \{ \begin{aligned} &1, &x=0 \\ &2, &x=1 \\ \end{aligned} \right .$$

f(x)=
\left \{
\begin{aligned}
&1, &x=0 \\
&2, &x=1 \\
\end{aligned}
\right .

最简洁的是用 \cases{} 直接在括号里面输入公式，即可实现多行，优点是可以在 \begin{align} 和 \end{align} 对的块内使用，缺点是无法输入分数，至少我目前使用的渲染器不支持。

f(x)= \cases{ 1, &x=0 \\ 2, &x=1 \\ }

f(x)=
\cases{
1, &x=0 \\
2, &x=1 \\
}

简洁起见，用 case 也就是 \begin{case}\end{cases} 对也可以实现：

$$f(x)= \begin{cases} 1, &x=0 \\ 2, &x=1 \\ \end{cases}$$

f(x)=
\begin{cases}
1, &x=0 \\
2, &x=1 \\
\end{cases}

注意这里的 \begin{case}\end{cases} 对固定是 { 形式的符号，无法改变。

阵列

数阵

数阵是 matrix ，即 \begin{matrix} 和 \end{matrix} 一对组成块，当中使用 & 做分割号，和其他块一样，采用 \\ 作为换行标识。

$$\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}$$

\begin{matrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{matrix}

行列式

行列式是 vmatrix ，即采用 \begin{vmatrix} 和 \end{vmatrix} 一对组成块：

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$$

\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{vmatrix}

矩阵

矩阵是 bmatrix，采用 \begin{bmatrix} 和 \end{bmatrix} 一对：

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}

带省略矩阵

带省略矩阵在矩阵的基础上，采用 \ddots ($\ddots$) 、 \vdots ($\vdots$) 和 \cdots ($\cdots$) 构成：

$$\begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}$$

\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 \\
\end{bmatrix}

以上语法，可能看起来非常拥挤，实际上这样子写也是可以的：

\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0
\\
\vdots & \ddots & \vdots 
\\
0 & \cdots & 0
\\
\end{bmatrix}

表格

表格用的是 array 即 \begin{array} 与 \end{array} 一对，可以用来表示真值表：

$$\begin{array}{|c|c|c|} a & b & XOR \\ \hline 0&0&0\\ 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0\\ \end{array}$$

\begin{array}{|c|c|c|} a & b & XOR \\
\hline
0&0&0\\
0&1&1\\
1&0&1\\
1&1&0\\
\end{array}

示例公式

只需要多写，多练习，就能很自然地掌握$\LaTeX$ 公式排版，事实上，$\LaTeX$ 公式表中的公式只会用到一部分，只需要掌握这一小部分，就能应付绝大部分情况。

这里是一些数学和物理中常见的大型公式，基本上涵盖了大部分使用$\LaTeX$ 公式的情况。

欧拉公式

$$\begin{aligned} e^{j \pi} &= 1 \\ e^{j\theta} &= \cos(\theta) + j\sin(\theta) \end{aligned}$$

\begin{aligned}
e^{i \pi} &= 1
\\
e^{i\theta} &= \cos(\theta) + i\sin(\theta)
\end{aligned}

平均数

$$\begin{aligned} H_{n} &= \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}}} &(调和平均数)\\ \\ G_{n} &= \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n}} &(几何平均数)\\ \\ A_{n} &= \frac{a_{1}+ a_{2}+...+a_{n}}{n} &(算术平均数)\\ \\ Q_{n} &= \sqrt{\frac{a^{2}_{1} + a^{2}_{2} +...+ a^{2}_{n}}{n}} &(平方平均数)\\ \end{aligned}$$

\begin{aligned}
H_{n} &= \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}}}
&(调和平均数)\\
\\
G_{n} &= \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n}}
&(几何平均数)\\
\\
A_{n} &= \frac{a_{1}+ a_{2}+...+a_{n}}{n}
&(算术平均数)\\
\\
Q_{n} &= \sqrt{\frac{a^{2}_{1} + a^{2}_{2} +...+ a^{2}_{n}}{n}}
&(平方平均数)\\
\end{aligned}

和差化积，积化和差

积化和差

$$\begin{aligned} \cos(\alpha)\cos(\beta) &=\frac{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)}{2} \\ \sin(\alpha)\sin(\beta) &= \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2} \\ \sin(\alpha)\cos(\beta) &=\frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2} \\ \cos(\alpha)\sin(\beta) &= \frac{\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)}{2}\\ \end{aligned}$$

\begin{aligned}
\cos(\alpha)\cos(\beta) &=\frac{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)}{2}
\\
\sin(\alpha)\sin(\beta) &= \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2}
\\
\sin(\alpha)\cos(\beta) &=\frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2}
\\
\cos(\alpha)\sin(\beta) &= \frac{\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)}{2}\\
\end{aligned}

和差化积

$$\begin{aligned} \cos(\alpha) + \cos(\beta) &= 2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2}) \\ \cos(\beta) - \cos(\alpha) &= 2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}) \\ \sin(\beta) + \sin(\alpha) &= 2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2}) \\ \sin(\alpha) - \sin(\beta) &= 2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}) \\ \end{aligned}$$

\begin{aligned}
\cos(\alpha) + \cos(\beta) &= 2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})
\\
\cos(\beta) - \cos(\alpha) &= 2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})
\\
\sin(\beta) + \sin(\alpha) &= 2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})
\\
\sin(\alpha) - \sin(\beta) &= 2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})
\\
\end{aligned}

麦克斯韦方程组

$$\begin{aligned} \nabla \cdot E &= \frac{\rho}{c_{0}} \\ \nabla \times E &= \frac{\partial B}{\partial t} \\ \nabla \times B &= \frac{j}{c_{0}c^{2}} \\ \nabla \cdot B &= 0 \end{aligned}$$

\begin{aligned}
\nabla \cdot E &= \frac{\rho}{c_{0}}
\\
\nabla \times E &= \frac{\partial B}{\partial t}
\\
\nabla \times B &= \frac{j}{c_{0}c^{2}}
\\
\nabla \cdot B &= 0
\end{aligned}

麦克劳林级数

几个常见函数的麦克劳林级数展开：

$$\begin{aligned} e^{x} &= \sum\limits^{+\infty}_{n=0} \frac{(jx)^{n}}{n!} \\&= 1+ jx + \frac{(jx)^{2}}{2!} + \frac{(jx)^{3}}{3!} + ...+\frac{(jx)^{2n}}{2n!}+\frac{(jx)^{2n+1}}{(2n+1)!} +... \\ \cos(x) &= \sum\limits^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}x^{n}}{(2n+1)!} \\&= 1 - \frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+...+\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}+... \\ \sin(x) &= \sum\limits^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}x^{n}}{(2n+1)!} \\&= x - \frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+...+\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}+... \\ \end{aligned}$$

\begin{aligned}
e^{x} 
&= \sum\limits^{+\infty}_{n=0} \frac{(jx)^{n}}{n!}
\\&= 1+ jx + \frac{(jx)^{2}}{2!} + \frac{(jx)^{3}}{3!} + ...+\frac{(jx)^{2n}}{2n!}+\frac{(jx)^{2n+1}}{(2n+1)!} +...
\\
\cos(x) 
&= \sum\limits^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}x^{n}}{(2n+1)!}
\\&= 1 - \frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+...+\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}+...
\\
\sin(x) 
&= \sum\limits^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}x^{n}}{(2n+1)!}
\\&= x - \frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+...+\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}+...
\\
\end{aligned}

傅里叶变换

连续信号傅里叶级数

周期为$T$ 的连续信号$x(t)$ 变换到 无穷区间上$\infty$ 离散的$a_{k}$

$$\begin{aligned} a_{k} &= \frac{1}{T} \int_{T} x(t) e^{j k \omega_{0}t}dt \\ x(t) &= \sum \limits^{+\infty}_{k=-\infty} a_{k}e^{j k \omega t} &\left(\frac{2\pi}{\omega_{0}}= T\right)\\ \end{aligned}$$

\begin{aligned}
a_{k} &= \frac{1}{T} \int_{T} x(t) e^{j k \omega_{0}t}dt
x(t) &= \sum \limits^{+\infty}_{k=-\infty} a_{k}e^{j k \omega t} 
&\left(\frac{2\pi}{\omega_{0}}= T\right)\\
\end{aligned}

连续信号傅里叶变换

周期延拓到无穷区间上$\infty$ 的连续信号$x(t)$ 变换到 无穷区间上$\infty$ 连续的$X(j \omega)$

$$\begin{aligned} X(j \omega) &= \int^{+\infty}_{-\infty} x(t) e^{-j \omega t} dt \\ x(t) &= \frac{1}{2 \pi} \int^{+\infty}_{-\infty}X(j \omega) e^{j \omega t}d\omega \end{aligned}$$

\begin{aligned}
X(j \omega) &= \int^{+\infty}_{-\infty} x(t) e^{-j \omega t} dt 
\\
x(t) &= \frac{1}{2 \pi} \int^{+\infty}_{-\infty}X(j \omega) e^{j \omega t}d\omega
\end{aligned}

离散信号傅里叶变换

延拓到无穷大的离散信号$x[n]$ ，变换到周期$2 \pi$ 上连续的$X(e^{j \omega})$

$$\begin{aligned} X(e^{j \omega}) &= \sum \limits^{+\infty}_{n=-\infty} x[n] e^{j \omega n}\\ x[n] &= \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi} X(e^{j \omega})e^{j \omega n}d \omega \\ \end{aligned}$$

\begin{aligned}
X(e^{j \omega}) &= \sum \limits^{+\infty}_{n=-\infty} x[n] e^{j \omega n}\\
x[n] &= \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi} X(e^{j \omega})e^{j \omega n}d \omega \\
\end{aligned}

离散信号傅里叶级数

从有限的$N-1$ 离散信号$x[n]$ 到变换到有限的$N-1$ 离散信号$a_{k}$

$$\begin{aligned} a_{k} &= \sum \limits^{N-1}_{n=0}x[n]e^{-j \frac{2\pi}{N} nk} \\ x[n] &= \frac{1}{N} \sum \limits^{N-1}_{k=0}a_{k}e^{j \frac{2\pi}{N} nk} \end{aligned}$$

\begin{aligned}
a_{k} &= \sum \limits^{N-1}_{n=0}x[n]e^{-j \frac{2\pi}{N} nk} \\
x[n] &= \frac{1}{N} \sum \limits^{N-1}_{k=0}a_{k}e^{j \frac{2\pi}{N} nk}
\end{aligned}

复数积分

这里只是个例子，比方说对这个式子进行积分

$$\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{\sin(\omega t)}{t}dt = \pi$$

\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{\sin(\omega t)}{t}dt = \pi

用费曼积分方法可以得到结果为$\pi$ ，这里给出更容易理解的过程。由于这个函数非常难积分，不妨设：

$$I(a) = \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} e^{-at}dt$$

I(a) = \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} e^{-at}dt

显然有：

$$\begin{align} I(0) &= \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} e^{-0t}dt \\ &= \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} dt \\ I(+\infty) &= \lim\limits_{a \to \infty} \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} e^{-at}dt \\ &= 0 \end{align}$$

\begin{align}
I(0) &= \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} e^{-0t}dt
\\
&= \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} dt
\\
I(+\infty) &= \lim\limits_{a \to \infty} \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} e^{-at}dt
\\
&= 0
\end{align}

两边对$a$ 求导，就能有：

$$\begin{aligned} \frac{d}{da}I(a) &= \frac{d}{da} \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} e^{-at}dt \\ I'(a) &= \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} \cdot -t e^{-at}dt \\ &= \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} \cdot -t e^{-at}dt \\ &= -\int^{+\infty}_{0} \frac{j}{2}[e^{jt}-e^{-jt}] e^{-at}dt \\ &= \frac{1}{2j}\int^{+\infty}_{0}e^{-(a+j)t}-e^{-(a-j)t}dt \\ &= -\frac{1}{2j}\left[ \frac{1}{a+j}e^{-(a+j)t}-\frac{1}{a-j}e^{-(j-a)t}\right]^{+\infty}_{0} \\ &=-\frac{1}{2j}\left[ \frac{1}{a+j}(0-1)-\frac{1}{a-j}(0-1)\right] \\ &=\frac{1}{2j}\left[ \frac{1}{a+j}-\frac{1}{a-j}\right] \\ &=\frac{1}{2j}\frac{-2j}{a^{2}-1} \\ &= \frac{-1}{a^{2}+1} \end{aligned}$$

\begin{aligned}
\frac{d}{da}I(a) &= \frac{d}{da} \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} e^{-at}dt
\\
I'(a) &= \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} \cdot -t e^{-at}dt
\\
&= \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} \cdot -t e^{-at}dt
\\
&= -\int^{+\infty}_{0} \frac{j}{2}[e^{jt}-e^{-jt}] e^{-at}dt
\\
&= \frac{1}{2j}\int^{+\infty}_{0}e^{-(a+j)t}-e^{-(a-j)t}dt
\\
&= -\frac{1}{2j}\left[ \frac{1}{a+j}e^{-(a+j)t}-\frac{1}{a-j}e^{-(j-a)t}\right]^{+\infty}_{0}
\\
&=-\frac{1}{2j}\left[ \frac{1}{a+j}(0-1)-\frac{1}{a-j}(0-1)\right]
\\
&=\frac{1}{2j}\left[ \frac{1}{a+j}-\frac{1}{a-j}\right]
\\
&=\frac{1}{2j}\frac{-2j}{a^{2}-1}
\\
&= \frac{-1}{a^{2}+1}
\end{aligned}

再重新对$a$ 积分就有：

$$\begin{aligned} \int^{+\infty}_{0} I'(a) &= I(+\infty) - I(0) \\ \int^{+\infty}_{0} \frac{-1}{a^{2}+1} da &= 0-\int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} dt \\ \int^{+\infty}_{0} \frac{1}{a^{2}+1} da &= \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} dt \\ \arctan(a)|^{+\infty}_{0} &= \\ \frac{\pi}{2} - 0 &= \\ \frac{\pi}{2} &= \\ \pi &= \int^{+\infty}_{-\infty}\frac{\sin(t)}{t} dt \end{aligned}$$

\begin{aligned}
\int^{+\infty}_{0} I'(a) &= I(+\infty) - I(0)
\\
\int^{+\infty}_{0} \frac{-1}{a^{2}+1} da 
&= 0-\int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} dt
\\
\int^{+\infty}_{0} \frac{1}{a^{2}+1} da 
&= \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} dt
\\ 
\arctan(a)|^{+\infty}_{0} 
&= 
\\
\frac{\pi}{2} - 0
&= 
\\
\frac{\pi}{2}
&= 
\\
\pi
&= \int^{+\infty}_{-\infty}\frac{\sin(t)}{t} dt
\end{aligned}

这个方法已经比直接积分简单很多了，看着很长，实际上只是加入了一个抑制$e^{-at}$ 后进行积分，用了复数的方法化简了过程。费曼积分法也是加入了一个因子，只不过用的是纯初等变换的方法，比复数方法稍微复杂一点点。

参考资料

【1】：转载-LaTeX各种符号 | SnailDove’s blog
【2】：LaTeX 各种命令，符号_GarfieldEr007的博客客
【3】：【LaTeX应用】常用数学公式和符号
【4】：Latex#对齐（align）#入门教程
【5】：帮助:数学公式 - 维基百科
【6】：MathJax basic tutorial and quick reference - Mathematics Meta Stack Exchange